1 一张图解释贝叶斯公式

英国数学家托马斯：贝叶斯（ Thomas Bayes），在1763年发表的一篇论文中，提出了这个定理

贝叶斯在他的文章中是为了解决一个“逆概率”的问题

贝叶斯公式能够在有限的信息下，帮助我们预测出概率

条件概率表示在某种类别（事件）前提下，某事发生的概率

只要在题设条件中有：**”已知事件A发生”** 或“在事件B发生的条件下〞等，均要考虑条件概率，条件概率帮助我们考虑问题时限在正确的可能性(条件)下

先验概率表示每种类别分布的概率

2 三个示例

2.1 示例1

大年三十晚上，爷爷奶奶发红包。爷爷准备的红包是 4 个 50 元的，6 个 100 元的。奶奶准备的红包是 8 个 50 元的，4 个 100 元的。全家人随机抽，你运气很好，拿到一个 100 元的红包。请问这个红包来自爷爷的概率有多少？来自奶奶的概率有多少？

解答

爷爷一共10个红包，奶奶一共12个红包

分类（事件A）爷爷的概率是P（爷爷) = 10个红包/22个红包=5/11

分类（事件B）奶奶的概率是P（奶奶) = 12个红包/22个红包=6/11

分类(事件A)爷爷条件下(或者理解：范围下)，抽中100元红包的概率是=6个红包/10个红包=3/5。这里分母10个红包指得是爷爷一共10个红包

分类(事件B)奶奶条件下(或者理解：范围下)，抽中100元红包的概率是=4个红包/12个红包=2/6。这里分母12个红包指得是奶奶一共12个红包

注意：这里全概率P(100)是直接可以求的，不需要全概率公式：P(100)=10个100元红包/22个总红包=5/11【有些时候全概率需要使用全概率公式计算】

根据贝叶斯公式，其实就是求发生了一个事件（抽到了1个100元的红包）来自爷爷还是奶奶的概率

即通过先验概率（爷爷和奶奶分类的全概率）、条件概率（爷爷或奶奶类别或者范围下100元红包的条件概率）得出后验概率(他属于哪个类别（爷爷或奶奶）的概率是多少)

P(爷爷 | 100) = P(100 | 爷爷) × P（爷爷）/ P(100) = (3/5) × (5/11) ÷ (5/11) = 3/5

P(奶奶 | 100) = P(100 | 奶奶) × P（奶奶）/ P(100) = (2/6) × (6/11) ÷ (5/11) = 2/5

2.2 示例2

在夏季，某公园男性穿凉鞋的概率为1/2，女性穿凉鞋的概率为2/3，并且该公园中男女比例通常为2:1

若你在公园中随机遇到一个穿凉鞋的人，请问他的性别为男性或女性的概率分别为多少？

解答

分类（事件A）男性的概率是P（男性) = 2/3

分类（事件B）女性的概率是P（女性) = 1/3

分类(事件A)男性条件下(或者理解：范围下)穿凉鞋的概率，即条件概率P(凉鞋 | 男性)=1/2

分类(事件B)女性条件下(或者理解：范围下)穿凉鞋的概率，即条件概率P(凉鞋 | 女性)=2/3

注意这里与示例1不一样的地方是，对于全概率是没办法直接求出的，因此利用全概率公式

全概率公式

P(凉鞋) = P（男性) × P(凉鞋 | 男性) + P（女性) × P(凉鞋 | 女性) = 2/3 × 1/2 + 1/3 × 2/3= 5/9

P( 男性 | 凉鞋) = P(凉鞋 | 男性) × P（男性）/ P(凉鞋) = (1/2) × (2/3) ÷ (5/9) = 3/5

P( 女性 | 凉鞋) = P(凉鞋 | 女性) × P（女性）/ P(凉鞋) = (2/3) × (1/3) ÷ (5/9) = 2/5

2.3 示例3

某学校组织学生进行答题比赛，已知共有4道A类试题，8道B类试题，12道C类试题，学生从中任选1道该题作答，学生甲答对A,B，C这3类试题的概率分别是1/2，1/4，1/6，若甲答对所选试题，则这道题是B类试题的概率为【2023春 重庆-高二校联考期中】

解答

分类（事件）总和为4+8+12=24

分类（事件A）A类试题的概率是P（A类试题) = 1/6

分类（事件B）B类试题的概率是P（B类试题) = 1/3

分类（事件C）C类试题的概率是P（C类试题) = 1/2

分类(事件A)答A类试题条件下(或者理解：范围下)答对所选试题的概率，即条件概率P(答对 | A类试题)=1/2

分类(事件B)答A类试题条件下(或者理解：范围下)答对所选试题的概率，即条件概率P(答对 | B类试题)=1/4

分类(事件C)答A类试题条件下(或者理解：范围下)答对所选试题的概率，即条件概率P(答对 | C类试题)=1/6

同样的，对于全概率是没办法直接求出的，因此利用全概率公式

全概率公式

P(答对) = P（A类试题) × P(答对 | A类试题) + P（B类试题) × P(答对 | B类试题) + P（C类试题) × P(答对 | C类试题)= 1/4

直接使用贝叶斯公式

算“逆概率”即“答对所选试题，则这道题是B类试题的概率“

P( B类试题 | 凉答对) = P（B类试题) × P(答对 | B类试题) / P(答对)= (1/3) × (1/4) ÷ (1/4) = 1/3

3 对贝叶斯公式一种理解

其实还有一种对贝爷斯公式的理解和解法，即分类用乘法法分步用加分的概念

3.1 分类

就是把分类（事件）看成分类，例如：

示例1中的爷爷和奶奶

示例2中的男性和女性

示例3中的各类试题

简单理解就是先验概率P(X)

3.2 分步

分步可以看成在限定条件下，即在分类范围下的事件发生概率，例如：

示例1中，在爷爷或者奶奶的总红包数量范围下，抽中100元红包的概率

示例2中，在男性或者女性限定条件下，穿凉鞋的概率

示例3中，在回答各类试卷的范围，答对的概率

这里的概率就是条件概率，条件概率的分母只是在所在分类或者范围下，这个分类的汇总总和

条件概率形式上使用P(W | X)或者P(答对 | B类试题)或者P( 男性 | 凉鞋) ，中间为竖线

3.3 全概率

此时再通过分类用乘法法分步用加分的概念，就是先用分步的思想得出各事件在全局（包含各分类的视觉下）算出全局的概率，就是联合概率

联合概率就是表示两个事件共同发生的概率

计算出满足各分类下各事件发生的概率后，再通过分类相加的思想，得出的就是该事件在全局的全概率

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